CHI-Quadrat #
CHI-Quadrat ist selbst kein direktes Maßes zur Analyse des Zusammenhangs nominalskalierter Merkmale, wird aber als Hilfsgröße für andere Maße wie PHI und Cramérs V eingesetzt. Die Formel für CHI-Quadrat sieht folgendermaßen aus:
$$\chi^2 = \sum \frac{(h_b - h_e)^2}{h_e}$$
Dahinter steckt der Vergleich der erhobenen Werte mit der Annahme, es gäbe keinen Zusammenhang zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable. Die bereits bestehende Tabelle mit den absoluten Werten wird Kontingenztabelle genannt. Daraus wird eine zweite Tabelle gebildet. Diese bildet die Erwartung ab, es gäbe keine Zusammenhang. Dafür wird für jede der Zellen, im Beispiel sind es vier, folgende Rechnung durchgeführt:
$$\frac{ZeilenN \cdot SpaltenN}{n}$$
Beispielrechnung #
Für eine Beispielrechnung brauchst du zunächst eine Kreuztabelle mit absoluten Werten. Die kann so aussehen:
| X1 | X2 | ||
|---|---|---|---|
| Y1 | 86 | 27 | 113 |
| Y2 | 44 | 92 | 136 |
| 130 | 119 | 249 |
Für Zelle a sähe die Berechnung so aus:
$$\frac{113 \cdot 130}{249} = 59$$
Die daraus gebildete Indifferenztabelle wäre diese:
| X1 | X2 | |
|---|---|---|
| Y1 | 59 | 54 |
| Y2 | 71 | 65 |
Die Zellenwerte der Kontingenztabelle werden nun noch von den Werten der Indifferenztabelle subtrahiert, quadriert, und durch die Werte der Indifferenztabelle dividiert. Für die Zelle a sieht das so aus:
$$\frac{(h_b - h_e)^2}{h_e} = \frac{(86 - 59)^2}{59} = 12,36$$
Führst du diese Rechenoperation für alle vier Zellen aus, erhältst du folgendes Ergebnis:
| X1 | X2 | |
|---|---|---|
| Y1 | 12,26 | 13,5 |
| Y2 | 10,27 | 11,22 |
Diese Werte müssen im letzten Schritt nur noch summiert werden, um CHI-Quadrat zu ermitteln.
$$\chi^2 = \sum \frac{(h_b - h_e)^2}{h_e} = 47,35$$
Vorgehensweise #
- Indifferenztabelle bilden
- Erwarteten Werte vom gemessenen Werten subtrahieren, quadrieren, und durch erwartete Werte dividieren
- Diese Werte summieren
Der so ermittelte Wert ist der CHI-Quadrat-Koeffizient. Er beträgt mindestens 0 und wächst proportional mit n. Die Abhängigkeit von der Größe der Tabelle und n soll vermieden werden. Daher rechnen wir mit dem CHI-Quadrat-Koeffizienten weiter, um mit Cramérs V und dem PHI-Koeffizienten normierte – und damit vergleichbare – Werte zu erhalten.